CASOS DE FACTORIZACIÓN

Primer caso

  FACTOR COMÚN

CONCEPTO: descomposición factorial por factor común. Se ilustra con varios ejemplos resueltos cómo expresar un polinomio como el producto de factores hallando un factor común para los términos del polinomio.

Para usar este método se debe primero identificar el máximo común divisor de los coeficientes de los términos y si es distinto de uno hace parte del factor común. Luego se buscan las letras o expresiones comunes a cada término y se toman con el menor exponente para multiplicarlo con el MCD de los coeficientes y formar el factor común.
Finalmente se divide al polinomio por el factor común y el cociente será el otro factor.

REGLA: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo.

EJEMPLOS:

5m² + 15m³
5m² (1+3m)

EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)

EJEMPLO 2: (Hay factor común entre las letras)
7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)

EJEMPLO 3: (Hay factor común entre los números y entre las letras)
9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = 3x2. (3x - 2 + 4x3 - 6x5)

EJERCICIOS A RESOLVER:

1). 36x⁴ - 48x⁶ - 72x³ + 60x⁵ 

2). 4/3 x - 8/9 x³ + 16/15 x⁷ - 2/3 x⁵

^{3). 8a - 4b + 16c + 12d}

^{4). 9x2ab - 3xa2b3 + x2az} 

VIDEO - FACTOR COMÚN

MÉTODO ASPA:

Segundo caso 

 AGRUPACIÓN DE TERMINOS

CONCEPTO:  Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.

REGLA:  los dos primeros términos tienen el factor común y los dos últimos el factor común agrupamos los dos primero términos en un paréntesis y los 2 últimos precedido del signo correspondiente. la agrupación puede hacerse generalmente de mas de un modo con tal de los dos términos que se agrupan tengan algún factor común.

EJEMPLOS:

EJEMPLO 1:  (Todos los términos son positivos)


4a  +  4b  +  xa  +  xb  =

4.(a + b)  +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

EJEMPLO 2: ("Resultado desordenado")


4a +  4b  +  xb  +  xa =

4.(a + b) +  x.(b + a) =

4.(a + b) +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

EJEMPLO 3: (Con términos negativos)

4a  -  4b  +  xa  -  xb =

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

     (a - b).(4 + x)

EJERCICIOS A RESOLVER:

1) ax - 2bx - 2ay + 4by

2) 4a  -  4b  -  xb  +  xa

3) 4x²a  +  3y  +  12ax  +  yx

VIDEO -  AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

 

Tercer caso

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

CONCEPTO: Un trinomio cuadrado perfecto, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.

REGLA: reconocer y ordenar para saber si es un trinomio cuadrado perfecto, cuando el primero y tercer término son cuadrados perfectos se tiene que extraer las raíces cuadradas aplicando la ley de signos y su resultado debe ser el término número dos, aplicando el doble producto del primero por el segundo.

EJEMPLO 1:

a²  - 10a + 25

(a - 5)² 

EJEMPLO 2: (Términos positivos)

x²  +  6x  +  9 = (x + 3)²

x                3
      2.3.x
         6x

EJEMPLO 3: (Con un término negativo)

x²   -  10x   +   25 = (x - 5)²

x                   (-5)
      2.(-5).x 
        -10x

EJEMPLO 4:(Con fracciones)

x²  +   8/3 x  +  16/9 = (x + 4/3)²

x                      4/3
      2. 4/3 . x
        8/3 x

EJERCICIOS A RESOLVER:

1) 4x2-20xy+25y2 

2) 25x2+30x+9 

3) 3a3+24a2b+48ab2 

VIDEO -  TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Cuarto caso

DIFERENCIA DE CUADRADOS

CONCEPTO: El método para factorizar una diferencia de cuadrados consiste en tomar las raíces cuadradas de los términos y multiplicar su suma por su diferencia.

REGLA: se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del  minuendo y del sustraendo.

EJEMPLO 1: (Fácil)

x² - 9 = (x + 3).(x - 3)

EJEMPLO 2: 

b² - 64 = (b + 8).(b - 8)

EJEMPLO 2:

a² - 100 = (a + 10).(a  -10)

EJERCICIOS A RESOLVER:

1) x⁶ - 4 

2) x² - 4

3) 25x² - 1

VIDEO -  DIFERENCIA DE CUADRADOS

Quinto caso

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

CONCEPTO: Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

REGLA:  se debe sumar y restar un mismo número  (semejante al segundo término) para que el segundo término sea el doble producto de las raíces cuadradas del primer y último término. A este proceso se le denomina completar cuadrados

EJEMPLOS:

EJERCICIOS A RESOLVER:

1.  a2 + 2 a - 15 

2. x⁴ + x²y² + y⁴ 

3. 4x⁸ - 16x³y² + 9y⁴ 

VIDEO - TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Sexto caso 

TRINOMIO DE  LA FORMA x² + bx + c

CONCEPTO: Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

REGLA: Extraer el cuadrado del primer termino y bajar el signo que se encuentre. dejando un espacio poner el paréntesis la mismo variable extraída volver a poner entre paréntesis aplicando la ley de signos y encontrar 2 números multiplicados que me den el tercer termino y sumados me devuelva el segundo término.

EJEMPLO 1: 

X² +  4X + 3 = ( x + 3)  (x + 1)

EJEMPLO 2:  

X²  - 6X - 40 = ( x - 10)  (x + 4)

 

EJEMPLO 3: 

X²  - X - 6  = ( x - 3 )  (x + 2 )

EJEMPLO 4:  

 X²  - 9X   + 8  = ( x - 8)  (x -  1)

EJERCICIOS A RESOLVER:

1). a2 + 2 a b + b2

2).  a2 − 2 a b + b2 =

3) m² + 8m + 15

VIDEO -  TRINOMIO DE  LA FORMA x² + bx + c

Séptimo caso

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax² + bx + c

CONCEPTO:

1. El coeficiente del primer término es diferente de 1.

2. La variable del segundo término es la misma que la del primer término pero con exponente a la mitad.

3. El tercer término es independiente de la letra que aparece en

el primer y segundo términos del trinomio.

REGLA: Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x² extraemos la raíz cuadrada del primer termino aplicado la regla del sexto caso para no alterar al trinomio dividimos para el numero que fue multiplicado a inicio si no es visible el binomio tendremos que descomponer al numero en multiplicación.

EJEMPLOS: 

EJERCICIOS A RESOLVER:

1) 6x² - 7x - 3

2) 4x² + 8x + 3 

2)  6x²+17x+12

VIDEO - DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax² + bx + c

MÉTODO ASPA

Octavo caso

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

CONCEPTO: 

Debe tener cuatro términos, y estar ordenado con respecto a una letra.
Dos de sus términos, el 1º (a) y el 4º (b), deben poseer raíz cúbica exacta.
El segundo termino debe ser igual al triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer termino por la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b)].
El tercer termino debe ser igual al triple producto de la raíz cúbica del primer termino por el cuadrado la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b)].

REGLA: Para factorarlo se extrae la raíz cúbica al primer y cuarto términos, con las raíces formamos un binomio; separando las raíces con (+) si todos los términos del cubo son positivos y con  ( - ) si los términos del cubo son alternadamente positivos y negativos; el binomio formado se eleva al cubo.

EJEMPLO 1:

 x³   +   6x²   +   12x   +   8  =  (x + 2)³

x                                  2
         3.x².2     3.x.2²
          6x²         12x

EJEMPLO 2:

x³   -   9x²   +   27x   -   27  =  (x - 3)³x                                 -3
     3.x².(-3)    3.x.(-3)²        -9x²          27x

EJEMPLO 3:

 a³ + 3 a²b  + 3 a b²  + b³ = (a  +  b)³

a³ + 3 a²  + 3 a  + 1 = ( a + 1)³

 EJERCICIOS A RESOLVER:

1) a³ + 3 a²b  + 3 a b²  + b³

2) x³   +   6x²   +   12x   +   8  

³⁾  x³   -   9x²   +   27x   -   27  

VIDEO- CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Noveno caso

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

CONCEPTO: 

• La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

• La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz.

REGLA: sacar la raíz cubica de los dos valores y ponerle el signo menos entre ellos, ósea (x-y), después tienes que tomar el primer valor de lo que te quedo y elevarlo al cuadrado,después le sumas el producto de la primero por el segundo y después terminas sumando la segunda incógnita al cuadrado, así que quedaría (x-y)(x^2+xy+y^2) .

EJEMPLOS:

EJERCICIOS A RESOLVER:

1) 27x³ + 1

 2) x³y⁶ - 64

VIDEO- SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

MÉTODO - ASPA

 

Décimo caso

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

CONCEPTO: El número de monomios que la conforma son dos (2). 

La raíz del primer y segundo monomio tienen que ser raíces n- ésimas diferentes a raíces cuadradas o cúbicas. 
Válido para operaciones tanto de suma como de resta entre los monomios

REGLA:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz n-ésima al primer y segundo término. 
Dividir la expresión original entre la suma o resta (de acuerdo al signo del segundo término) de las raíces. 
Igualar éste término a la suma de los (n-1) monomios en donde se observa que el primer termino comienza elevado a la (n-1) y termina en 0, mientras que el segundo término comienza en 0 y termina en (n-1). 
Pasar a multiplicar el término ubicado en el denominador a la expresión obtenida en el paso anterior. 
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.

EJEMPLOS:

1)  1-x5= (1-x)(1+x+x2+x3+x4) 

2) a7+b7= (a+b)(a6-a5b+a4b2-a3b3+a2b4-ab5+b6) 

3) m7-n7= (m-n)(m6+m5n+m4n2+m3n3+m2n4+mn5+n6) 

4) a5+243= (a+3)(a4-3a3+9a2-27a+81) 

EJERCICIOS A RESOLVER:

1) 32-m5=

2)1+243x5=

3) x7+128=

4) x7-y7=

 VIDEO- SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES